Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當x∈[

π

4

，

π

2

]時，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先對三角函數(shù)進行恒等變換，變形成正弦型函數(shù)，進一步求出函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間．
（2）直接利用第一步的結(jié)論，利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)+1
所以：函數(shù)的最小正周期：
T=

2π

2

=π
令：

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
∴單調(diào)遞減區(qū)間為[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]，k∈Z
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
即2≤1+2sin(2x-

π

3

)≤3，
∴f（x）_max=3，f（x）_min=2．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的最小正周期的求法，正弦型函數(shù)的單調(diào)性的應用及函數(shù)的最值，屬于基礎題型．