Question

11．已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點到右頂點的距離為1．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）是否存在與橢圓C交于A、B兩點的直線l：y=kx+m（k∈R），使得以AB為直徑的圓過原點？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意設出橢圓的標準方程，并得到a，c的關系，聯(lián)立求得a，c的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關系及判別式求得滿足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，成立的直線l：y=kx+m存在．

解答 解：（1）由題意：設橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，
右焦點到右頂點的距離為1，即a-c=1，
∴a=2，c=1，
b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）存在直線l，使得以AB為直徑的圓過原點．理由如下：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化簡得3+4k²＞m²．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
由，以AB為直徑的圓過原點，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
得（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，即（1+k²）•$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-km•$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$+m²=0，
化簡得，7m²=12+12k²，將k²=$\frac{7}{12}$m²-1代入3+4k²＞m²中，得3+4×（ $\frac{7}{12}$m²-1）＞m²，解得：m²＞$\frac{3}{4}$．
又由7m²=12+12k²≥12，得m²≥$\frac{12}{7}$，即m≥$\frac{2}{7}$$\sqrt{21}$或m≤-$\frac{2}{7}$$\sqrt{21}$．
∴實數(shù)m的取值范圍是：（-∞，-$\frac{2}{7}$$\sqrt{21}$]∪[$\frac{2}{7}$$\sqrt{21}$，+∞）．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，訓練了直線與橢圓位置關系的應用，體現(xiàn)了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題．