Question

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=

1

2

AD=1．
（1）求異面直線BF與DE所成的角的大小；
（2）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先將BF平移到CE，則∠CED（或其補(bǔ)角）為異面直線BF與DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；
（2）設(shè)Q為CD的中點(diǎn)，連接PQ，EQ，易證∠EQP為二面角A-CD-E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可

解答：解：（1）由題設(shè)知，BF∥CE，
所以∠CED（或其補(bǔ)角）為異面直線BF與DE所成的角．
設(shè)P為AD的中點(diǎn)，連接EP，PC．
因?yàn)镕E₌^∥AP，所以FA₌^∥EP，同理AB₌^∥PC．
又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．
而PC，AD都在平面ABCD內(nèi)，
故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD設(shè)FA=a，
則EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=

2

a，故∠CED=60°．
所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°．
（2）取CD的中點(diǎn)Q，連接PQ，EQ
由PC=PD，CE=DE
∴PQ⊥CD，EQ⊥CD
∴∠EQP為二面角A-CD-E的平面角，
由ED=CD=

2

a，在等邊△ECD中EQ=

6

2

a
在等腰Rt△CPD中，PQ=

2

2

a
在Rt△EPQ中，cos∠EQP=

PO

EQ

=

3

3

．
故二面角A-CD-E的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評：本小題考查線線垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想像能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．