在平面直角坐標系xOy中，已知點P（1+2cosx，2+2cos2x）和點Q（cosx，-1），x∈R．
（Ⅰ）若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．
（Ⅱ）定義函數(shù)f（x）=
OP
•
OQ
，x∈[0，π]，求函數(shù)f（x）的值域．
考點：平面向量數(shù)量積的運算,數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系
專題：平面向量及應用
分析：（I）由向量
OP
與
OQ
垂直，可得
OP
•
OQ
=cosx-2cos2x=0，即可解出．
（II）由（I）可得f（x）=-2cos2x+cosx=-2(cosx-
1
4
)2+
1
8
，由x∈[0，π]，可得cosx∈[-1，1]．再利用二次函數(shù)的單調性即可得出．
解答： 解：（I）∵向量
OP
與
OQ
垂直，
∴
OP
•
OQ
=（1+2cosx）cosx-（2+2cos2x）=cosx+2cos2x-2-2cos2x=cosx-2cos2x=0，
解得cosx=0或cosx=
1
2
．
∴x=kπ+
π
2
或x=2kπ±
π
3
（k∈Z）．
（II）由（I）可得f（x）=-2cos2x+cosx=-2(cosx-
1
4
)2+
1
8
，
∵x∈[0，π]，
∴cosx∈[-1，1]．
∴f（x）∈[-3，
1
8
]．
點評：本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關系、二次函數(shù)的單調性、余弦函數(shù)的單調性，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=x2-x+alnx，其中a≠0．
（1）a=-6，求函數(shù)f（x）在[1，4]上的最值；
（2）設函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：當n∈N*時，e n(n2-1)≥（n!）3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx-x+
1
x
，g（x）=x2+x-b，y=f（x）圖象恒過定點P，且P點既在y=g（x）圖象上，又在y=f（x）的導函數(shù)的圖象上．
（1）求a，b的值；
（2）設h（x）=
f(x)
g(x)
，求證：當x＞0且x≠1時，h（x）＜0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

袋中有一元人民幣兩枚，現(xiàn)依次有放回地隨機摸取3次，每次摸一枚硬幣．
（1）試問，一共有多少種不同的結果，列出所有可能的結果（其中正面朝上與反面朝上是不同的結果）
（2）若摸到正面朝上時得2分，摸到反面朝上得1分，求3次摸得總分為5分的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），當x＞1時，f（x）＞0，且f（
x
y
）=f（x）-f（y），若f（4）=2，求f（x）在[1，16]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，點A、B分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，其中A（-6，0），F(xiàn)（4，0）點P在橢圓上且位于x軸上方，
PA
•
PF
=0．
（Ⅰ）求橢圓的方程和離心率；
（Ⅱ）求點P的坐標；
（Ⅲ）設M（m，0）是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|m-6|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

從正方體的8個頂點中，任意選擇4個頂點，則這四個點可能是
①矩形的四個頂點；
②有三個面為等腰直角三角形，另一個面為等邊三角形的四面體的四個頂點；
③每個面都是等邊三角形的四面體的四個頂點；
④每個面都是直角三角形的四面體的四個頂點．
其中正確的結論是
 
．（請把所有正確結論的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

關于圖中的正方體ABCD-A1B1C1D1，下列說法正確的有：
 
．
①P點在線段BD上運動，棱錐P-AB1D1體積不變；
②P點在線段BD上運動，直線AP與平面A1B1C1D1平行；
③一個平面α截此正方體，如果截面是三角形，則必為銳角三角形；
④一個平面α截此正方體，如果截面是四邊形，則必為平行四邊形；
⑤平面α截正方體得到一個六邊形（如圖所示），則截面α在平面AB1D1與平面BDC1間平行移動時此六邊形周長先增大，后減�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

計算
∫
e
1
1
x
dx=
 
．

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