Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=lg（ax²-2x-2a）的定義域?yàn)锳，B={x|1＜x＜3}，A∩B≠∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算

專題：集合

分析：設(shè)g（x）=ax²-2x-2a，求出不等式x²-4x+3＜0的解集B；
討論（1）a=0時(shí)，g（x）＞0的解集為A，A∩B的情況；
（2）a＞0時(shí)，g（x）＞0的解集A與A∩B≠ϕ的條件，求出a的取值范圍；
（3）a＜0時(shí)，g（x）＞0的解集A與A∩B≠φ的條件，求出a的取值范圍．

解答： 解：設(shè)g（x）=ax²-2x-2a，
∵不等式x²-4x+3＜0的解集B={x|1＜x＜3}=（1，3）；
∴（1）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-2x＞0的解集為A=（-∞，0），故A∩B=ϕ；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，∵g（0）=-2a＜0，此時(shí)拋物線開口向上，∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)且分別在y軸的兩側(cè)，
此時(shí)若要使A∩B≠ϕ，只需g（3）=9a-6-2a＞0即可，解之得，a＞

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；
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，∵g（0）=-2a＞0，此時(shí)拋物線開口向下，∴函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)也分別在y軸的兩側(cè)，
要使A∩B≠φ，只需g（1）=a-2-2a＞0即可，解之得，a＜-2．
綜上，a的取值范圍是（-∞，-2）∪（

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，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求一元二次不等式的解集的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)字母進(jìn)行討論，是綜合題目．