Question

下列說法正確的是：
（1）?x∈R使2^x＞3的否定是使?x∈R使2^x≤3
（2）已知實數(shù)x、y滿足方程x²+y²-4x+1=0．則（x+3）²+（y+2）²最大值是32+2

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（3）命題“函數(shù)f（x）在x=x₀處有極值，則f′（x₀）=0”的否命題是真命題
（4）函數(shù)y=sin(2x+

π

3

)sin(

π

6

-2x)的最小正周期是π
（5）

3+i

1+i

化簡結果為2+i．
以上說法正確的是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質及應用,三角函數(shù)的圖像與性質,簡易邏輯,數(shù)系的擴充和復數(shù)

分析：（1）由全稱命題的否定是特稱命題，判定命題（1）是正確的；
（2）畫出圖形，數(shù)形結合，求出（x+3）²+（y+2）²的最大值；
（3）先寫出否命題，再舉例說明否命題是錯誤的；
（4）求出函數(shù)y的最小正周期，化簡

3+i

1+i

．

解答： 解：（1）∵全稱命題的否定是特稱命題，
∴“?x∈R，使2^x＞3”的否定是“?x∈R，使2^x≤3”，
∴命題（1）正確；
（2）∵實數(shù)x、y滿足方程x²+y²-4x+1=0，即（x-2）²+y²=3；
如圖，；
∴（x+3）²+（y+2）²最大值是
|PD|²=（|PC|+|CD|）²
=(

(2+3)2+(0+2)2

+

3

)2
=32+2

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；
∴命題（2）正確；
（3）命題“函數(shù)f（x）在x=x₀處有極值，則f′（x₀）=0”的否命題是
若函數(shù)f（x）在x=x₀處無有極值，則f′（x₀）≠0，
如f（x）=x³的導函數(shù)是f′（x）=x²，
∵x＞0時，f′（x）＞0，x＜0時，f′（x）＞0，∴f（x）=x³在x=0處無極值，但f′（0）=0；
∴命題（3）錯誤；
（4）∵函數(shù)y=sin(2x+

π

3

)sin(

π

6

-2x)=sin（2x+

π

3

）cos（2x+

π

3

）=

1

2

sin（4x+

2π

3

），
∴y的最小正周期是

π

2

，∴命題（4）錯誤；
（5）

3+i

1+i

=

(3+i)(1-i)

12-i2

=2-i，故命題（5）錯誤；
所以，以上正確的命題是（1）、（2）．
故答案為：（1）、（2）．

點評：本題通過命題的判定考查了命題的否定與否命題，函數(shù)的極值與三角函數(shù)的周期性與復數(shù)的代數(shù)運算問題，是綜合性題目．