Question

本題滿分15分）已知函數(shù)（a-b）<b)。

（I）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求曲線在點(diǎn)（2，）處的切線方程。

（II）設(shè)是的兩個(gè)極值點(diǎn)，是的一個(gè)零點(diǎn)，且，

證明：存在實(shí)數(shù)，使得 按某種順序排列后的等差數(shù)列，并求

Answer 1

解析：本題主要考查函數(shù)的極值概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、切線方程、導(dǎo)線應(yīng)用、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查抽象概括、推理論證能力和創(chuàng)新意識(shí)。

(Ⅰ)解：當(dāng)a=1,b=2時(shí)，

因?yàn)閒’(x)=(x-1)(3x-5)

故f’(2)=1

f(2)=0,

所以f(x)在點(diǎn)（2,0）處的切線方程為y=x-2

（Ⅱ）證明：因?yàn)?i>f′（x）＝3（x－a）（x－），

       由于a<b.

       故a<.

       所以f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為x＝a，x＝.[

       不妨設(shè)x₁＝a，x₂＝，

       因?yàn)?i>x₃≠x₁，x₃≠x₂，且x₃是f（x）的零點(diǎn)，

       故x₃＝b.

       又因?yàn)?sub>－a＝2（b－），

       x₄＝（a＋）＝，

所以a，，，b依次成等差數(shù)列，

所以存在實(shí)數(shù)x₄滿足題意，且x₄＝.