Question

已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當時, (其中e是自然界對數(shù)的底,)

（Ⅰ）設(shè)，求證：當時，；

（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使得當時，的最小值是3 ？如果存在，求出實數(shù)a的值；如果不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ)見解析;（Ⅱ）存在，

【解析】

試題分析：(Ⅰ)根據(jù)已知條件和奇函數(shù)的定義與性質(zhì)，先求出函數(shù)在整個定義域的解析式，再由和的關(guān)系列不等式，由函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系解不等式即可；（Ⅱ）首先假設(shè)這樣的存在，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性找到最小值，注意解題過程中要對參數(shù)進行討論，不能漏解.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)，則，所以,

又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以, 

故函數(shù)的解析式為  ,            2分

證明：當且時，，設(shè),

因為，所以當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，此時單調(diào)遞增，所以,

  又因為，所以當時，，此時單調(diào)遞減，所以,

所以當時，即 ;              4分

（Ⅱ）解：假設(shè)存在實數(shù)，使得當時，有最小值是3，則                    ..5分

（�。┊�，時，．在區(qū)間上單調(diào)遞增，，不滿足最小值是3,            6分

（ⅱ）當，時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，也不滿足最小值是3,             7分

（ⅲ）當，由于，則，故函數(shù) 是上的增函數(shù)．

所以，解得（舍去）.       8分

（ⅳ）當時，則

當時，，此時函數(shù)是減函數(shù)；

當時，，此時函數(shù)是增函數(shù)．

所以，解得.

綜上可知，存在實數(shù)，使得當時，有最小值3.             10分

考點：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.