Question

設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x+2）=-3f（x）．當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-x²．則f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）=（　　）

• A、-

  3

  4

  （1-3¹⁰⁰⁷）
• B、-

  3

  4

  （1+3¹⁰⁰⁷）
• C、-

  1

  4

  （1-

  1

  31007

  ）
• D、-

  1

  4

  （1+

  1

  31007

  ）

Answer 1

分析：根據(jù)f（x+2）=-3f（x）以及x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-x²，可以發(fā)現(xiàn)f（0）=f（-2）=…=f（-2014）=0，從而將所求表達(dá)式分成兩組求和，而根據(jù)

f(x)

f(x+2)

=-

1

3

，發(fā)現(xiàn)f（-1），f（-3），…，f（-2013）構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列求和即可求得結(jié)果，最后兩組和相加即可得到所要求解的答案．

解答：解：∵當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-x²，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=1，
又∵f（x+2）=-3f（x），
∴當(dāng)x=-2時(shí)，f（0）=-3f（-2），故f（-2）=0，
當(dāng)x=-1時(shí)，f（1）=-3f（-1），故f（-1）=-

1

3

，
以此類(lèi)推，f（-4）=f（-6）=…=f（-2014）=0，
故f（0）+f（-2）+f（-4）+…+f（-2014）=0，
∵f（x+2）=-3f（x），
∴

f(x)

f(x+2)

=-

1

3

，
故f（-1），f（-3），f（-5），…，f（-2013）構(gòu)成以f（-1）為首項(xiàng)，-

1

3

為公比的等比數(shù)列，
∴f（-1）+f（-3）+f（-5）+…+f（-2013）=

- 1 3 ×[1-(- 1 3 )1007]

1-(- 1 3 )

=-

1

4

(1+

1

31007

)，
∴f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）=[f（0）+f（-2）+f（-4）+…+f（-2014）]+[f（-1）+f（-3）+f（-5）+…+f（-2013）]=0+-

1

4

(1+

1

31007

)=-

1

4

(1+

1

31007

)，
∴f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）=-

1

4

(1+

1

31007

)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的求值問(wèn)題，涉及了等比數(shù)列的定義以及等比數(shù)列的求和．對(duì)于抽象函數(shù)的求值一般利用賦值法求解．解決本題的關(guān)鍵是將f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）分解成兩組進(jìn)行求解，一組的和恒為定值0，另一組構(gòu)成了等比數(shù)列求和．屬于中檔題．