Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2a_n+3．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2a_n+3可得a_n+1+3=3（a_n+3），結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解
（2）由（1）可得，nan=5n•2n-1-3n，分組后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及錯(cuò)位相減求和方法即可求解

解答：解：（1）∵a₁=2，a_n+1=2a_n+3．
∴a_n+1+3=3（a_n+3），a₁+3=5
∴數(shù)列{a_n+3}是以5為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列
∴an+3=5•2n-1
∴an=5•2n-1-3
（2）∵nan=5n•2n-1-3n
令Tn=1•20+2•21+…+n•2n-1
則2T_n=1•2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
兩式相減可得，-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=2ⁿ-n•2ⁿ-1
∴Tn=(n-1)•2n+1
∴Sn=5(n-1)•2n-

3n2+3n

2

+5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式，及分組求和、錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用．