Question

已知m∈R，圓C：x²+y²-2mx+2（m-1）y+2m²-2m+

1

2

=0 
（1）求證：圓C的圓心在一條定直線上；
（2）已知：圓C與一條定直線相切，求這條定直線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,圓的一般方程

專題：計(jì)算題,證明題,直線與圓

分析：（1）化圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心坐標(biāo)，消參后得到圓心軌跡方程，則答案可證；
（2）設(shè)出直線方程的斜截式，化為一般式，由圓心到直線的距離等于圓的半徑得到關(guān)于m的一元二次方程，由對(duì)任意實(shí)數(shù)m方程恒成立，得到系數(shù)為0，聯(lián)立方程組求得k和b的值，則定直線的方程可求．

解答： （1）證明：由C：x²+y²-2mx+2（m-1）y+2m²-2m+

1

2

=0，得 
(x-m)2+(y+m-1)2=

1

2

，
∴圓心C（m，1-m），
設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，y），
則

x=m y=1-m

，消去m得，x+y-1=0．
∴圓心C在定直線x+y-1=0上；
（2）解：設(shè)該直線方程為：y=kx+b，則C（m，1-m）到該直線的距離為

2

2

，
∴

|km-(1-m)+b|

k2+1

=

2

2

，
即：2（k+1）²m²+4（k+1）（b-1）m+2（b-1）²-k²-1=0．
由上述等式對(duì)于任意的m均成立，
∴

2(k+1)2=0 4(k+1)(b-1)=0 2(b-1)2-k2-1=0

，解得

k=-1 b=0

或

k=-1 b=2

．
∴這條直線為：y=-x或y=-x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的一般式和標(biāo)準(zhǔn)式方程的互化，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答（2）的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程恒成立，是中檔題．