Question

2．已知f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且?x∈（0，+∞），f[f（x）-lnx]=e+1，設(shè)a=f（（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$），b=f（（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$），c=f（log₂π），則a，b，c的大小關(guān)系是c＞a＞b（用“＞”號連接表示）

Answer 1

分析 由設(shè)t=f（x）-lnx，則f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，分析可得f（x）的單調(diào)性，進而分析可得（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$＜（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$＜log₂π；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=e+1，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則f（x）-lnx為定值，
設(shè)t=f（x）-lnx，
則f（x）=lnx+t，
又由f（t）=e+1，
即lnt+t=e+1，
解得：t=e，
則f（x）=lnx+e，（x＞0）
則f（x）為增函數(shù)，
又由（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$=$\root{3}{\frac{1}{2}}$=$\root{6}{\frac{1}{4}}$，（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}}$=$\root{6}{\frac{1}{27}}$，log₂π＞1，
則有（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$＜（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$＜log₂π；
則有c＞a＞b；
故答案為：c＞a＞b．

點評 本題考查函數(shù)解析式的求法，以及函數(shù)單調(diào)性的判定以及應(yīng)用，關(guān)鍵是求出函數(shù)的解析式．