Question

設(shè)

e1

，

e2

是兩個(gè)互相垂直的單位向量，已知向量

AB

=3

e1

+2

e2

，

CB

=

e1

-λ

e2

，

CD

=-2

e1

+

e2

，
（1）若A、B、D三點(diǎn)共線，試求實(shí)數(shù)λ的值．
（2）若A、B、D三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，試求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（1）由向量的減法運(yùn)算求出

BD

，再由共線向量基本定理列式后轉(zhuǎn)化為方程組求解；
（2）在（1）求出了

AB

和

BD

，再由向量加法求出

AD

，然后分三種情況進(jìn)行討論，運(yùn)用垂直時(shí)的數(shù)量積為0求解λ的值．

解答：解：（1）

BD

=

CD

-

CB

=(-2

e1

+

e2

)-(

e1

-λ

e2

)=-3

e1

+(1+λ)

e2

，
∵A、B、D三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)μ使

AB

=μ

BD

，
即3

e1

+2

e2

=μ[-3

e1

+(1+λ)

e2

]⇒

3=-3μ 2=μ(1+λ)

⇒λ=-3．
（2）

AD

=

AB

+

BC

+

CD

=（3

e1

+2

e2

）+（-

e1

+λ

e2

）+（-2

e1

+

e2

）
=(λ+3)

e2

．
若∠A=90°，則

AB

•

AD

=2(λ+3)

e2

2=0⇒λ=-3，
此時(shí)A、D兩點(diǎn)重合，應(yīng)舍去；
若∠B=90°，則

AB

•

BD

=-9

e1

2+2(λ+1)

e2

2=0⇒λ=

7

2

；
若∠D=90°，則

BD

•

AD

=(λ+1)(λ+3)

e2

2=0⇒λ=-3（舍），λ=-1．
綜上所述實(shí)數(shù)λ的值為λ=-3或λ=-1或λ=

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，考查了平面向量共線的坐標(biāo)表示，考查了分類討論思想，考查計(jì)算能力，是中低檔題．