已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,在(-∞,-1),(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,2)上單調(diào)遞減,當且僅當x>4時.f(x)>x2-4x+5=g(x).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)y=m與函數(shù)f(x),g(x)的圖象共有3個交點,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】分析:(1)先利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,確定-1和2是兩個極值點,從而確定條件關(guān)系求出參數(shù)a,b,c.
(2)求出函數(shù)f(x),g(x)的極大值和極小值,結(jié)合圖象,確定實數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(1)因為函數(shù)在(-∞,-1),(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,2)上單調(diào)遞減,所以-1,2是函數(shù)的兩個極值點,即-1,2是f'(x)=0的兩個根,
因為f'(x)=3x2+2ax+b,所以由根與系數(shù)之間的關(guān)系得
所以
,則H'(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2),
所以函數(shù)H(x)在(-∞,),(2,+∞)上為增函數(shù),在()上為減函數(shù),故,解得c=-11.
所以此時
(2)因為,則,
故當-21<m<-時,直線y=m與函數(shù)f(x)的圖象有3個交點,與g(x)的圖象沒有交點.
又g(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1≥1,故當m>1時,直線y=m與g(x)的圖象有2個交點,與f(x)的圖象有1個交點,
又f(4)=g(4)=5,故當1<m<5或m>5時,直線y=m與函數(shù)f(x),g(x)的圖象共有3個交點,
故實數(shù)m的取值范圍
點評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值的關(guān)系.對應(yīng)兩個函數(shù)圖象的相交問題,要利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想去解決,一般是通過確定函數(shù)的極值點和最值點來確定滿足條件的范圍.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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