Question

12．已知橢圓C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，點(diǎn)A，C分別為橢圓C的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線交橢圓C與另一點(diǎn)M．
（Ⅰ）當(dāng)F關(guān)于直線AM的對(duì)稱點(diǎn)在y軸上時(shí)，求直線AM的斜率；
（Ⅱ）記點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為P，連接PC交直線AM與點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q是線段AM的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）設(shè)點(diǎn)F關(guān)于直線AM的對(duì)稱點(diǎn)為N，線段FN的中點(diǎn)為D．設(shè)直線AM的方程為：y=k（x+2），（k≠0），直線FN的方程為y=-$\frac{1}{k}（x-1）$，聯(lián)立解出D的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出k．
（II）設(shè)M（x₀，y₀），直線AM的方程y=k（x+2）與橢圓方程聯(lián)立化為：（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得M坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)可得線段AM的中點(diǎn)Q．由${x}_{0}=\frac{1+{x}_{P}}{2}$，${y}_{0}=\frac{0+{y}_{P}}{2}$，可得P（2x₀-1，2y₀）．直線PC的方程為：$y=\frac{2{y}_{0}-\sqrt{3}}{2{x}_{0}-1}$x+$\sqrt{3}$，把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入解得k的值即可得出．

解答 解：（I）A（-2，0），C（0，$\sqrt{3}$），F(xiàn)（1，0）．設(shè)點(diǎn)F關(guān)于直線AM的對(duì)稱點(diǎn)為N，線段FN的中點(diǎn)為D．
設(shè)直線AM的方程為：y=k（x+2），（k≠0），直線FN的方程為y=-$\frac{1}{k}（x-1）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{y=-\frac{1}{k}（x-1）}\end{array}\right.$，解得D$（\frac{1-2{k}^{2}}{{k}^{2}+1}，\frac{3k}{{k}^{2}+1}）$，則$\frac{1-2{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$=$\frac{0+1}{2}$，化為：k²=$\frac{1}{5}$，解得k=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（II）設(shè)M（x₀，y₀），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
△=256k⁴-16（4k²-3）（4k²+3）=9＞0．
∴-2x₀=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，解得x₀=$\frac{6-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+2）=$\frac{12k}{3+4{k}^{2}}$，
可得線段AM的中點(diǎn)Q$（\frac{{x}_{0}-2}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}）$，即Q$（\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，\frac{6k}{3+4{k}^{2}}）$．
由${x}_{0}=\frac{1+{x}_{P}}{2}$，${y}_{0}=\frac{0+{y}_{P}}{2}$，可得P（2x₀-1，2y₀）．
直線PC的方程為：$y=\frac{2{y}_{0}-\sqrt{3}}{2{x}_{0}-1}$x+$\sqrt{3}$，化為：y=$\frac{24k-3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{9-20{k}^{2}}$x+$\sqrt{3}$，
把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入可得：$\frac{6k}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{24k-3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{9-20{k}^{2}}$×$\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+$\sqrt{3}$，
化為：16$\sqrt{3}$k⁴+24k³+18k-9$\sqrt{3}$=0，
∴$\sqrt{3}$$[（2k）^{4}-（\sqrt{3}）^{4}]$+6k（4k²+3）=0，
∴（4k²+3）$（4\sqrt{3}{k}^{2}+6k-3\sqrt{3}）$=0，
∴$4\sqrt{3}{k}^{2}$+6k-3$\sqrt{3}$=0，
解得k=$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}$或$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{15}}{4}$．
∴M$（\frac{2\sqrt{5}}{5}，\frac{2\sqrt{15}}{5}）$或$（-\frac{2\sqrt{5}}{5}，-\frac{2\sqrt{15}}{5}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．