Question

已知函數(shù)f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y²-2y+3）+f（x²-4x+1）≤0，則當y≥l時，

y

x+1

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)單調性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調性，將不等式進行轉化，利用直線和圓的位置關系，結合數(shù)形結合和

y

x+1

的幾何意義即可得到結論．

解答： 解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），
∴f（-x）=-x-sinx=-（x+sinx）=-f（x），
即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函數(shù)，
∵f（y²-2y+3）+f（x²-4x+1）≤0，
∴f（y²-2y+3）≤-f（x²-4x+1）=f[-（x²-4x+1）]，
由f'（x）=1-cosx≥0，
∴函數(shù)單調遞增．
∴（y²-2y+3）≤-（x²-4x+1），
即（y²-2y+3）+（x²-4x+1）≤0，
∴（y-1）²+（x-2）²≤1，
∵y≥1，
∴不等式對應的平面區(qū)域為圓心為（2，1），半徑為1的圓的上半部分．

y

x+1

的幾何意義為動點P（x，y）到定點A（-1，0）的斜率的取值范圍．
設k=

y

x+1

，（k＞0）
則y=kx+k，即kx-y+k=0．
當直線和圓相切是，圓心到直線的距離d=

|2k-1+k|

1+k2

=

|3k-1|

1+k2

=1，
即8k²-6k=0，解得k=

3

4

．此時直線斜率最大．
當直線kx-y+k=0．經過點B（3，1）時，直線斜率最小，
此時3k-1+k=0，即4k=1，解得k=

1

4

，
∴

1

4

≤k≤

3

4

，
故答案為[

1

4

，

3

4

]．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，函數(shù)奇偶性和單調性的判斷以及直線斜率的取值范圍，綜合性較強，運算量較大，利用數(shù)形結合是解決本題的基本思想．