Question

9．已知函數(shù)f（x）=|x-5|+|x+4|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥12的解集；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）-2^1-3a-1≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 去掉絕對值，化簡函數(shù)f（x）；
（Ⅰ）討論x的取值，把不等式f（x）≥12轉(zhuǎn)化為去掉絕對值的不等式，從而求出不等式的解集；
（Ⅱ）把不等式f（x）-2^1-3a-1≥0變形，求出f（x）的最小值，再解關(guān)于a的不等式即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=|x-5|+|x+4|，
∴當(dāng)x≥5時，f（x）=2x-1；
當(dāng)-4＜x＜5時，f（x）=9；
當(dāng)x≥-4時，f（x）=-2x+1；
（Ⅰ）當(dāng)x≥5時，不等式f（x）≥12化為2x-1≥12，解得x≥$\frac{13}{2}$，
當(dāng)-4＜x＜5時，不等式f（x）≥12化為9≥12，無解，
當(dāng)x≤-4時，不等式f（x）≥12化為-2x+1≥12，解得x≤-$\frac{11}{2}$；
綜上，不等式的解集為{x|x≤-$\frac{11}{2}$或x≥$\frac{13}{2}$}；
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式f（x）-2^1-3a-1≥0恒成立，
∴f（x）≥2^1-3a+1，
又f（x）的最小值是9，
∴9≥2^1-3a+1，
即2³≥2^1-3a，
∴3≥1-3a，
解得a≥-$\frac{2}{3}$，
所以實數(shù)a的取值范圍是a≥-$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了含有絕對值的不等式的解法與應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是去掉絕對值，是綜合性題目．