Question

 已知函數(shù)f(x)＝x³－2ax²＋3x(x∈R)．

(1)若a＝1，點P為曲線y＝f(x)上的一個動點，求以點P為切點的切線斜率取最小值時的切線方程；

(2)若函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)，試求滿足條件的最大整數(shù)a.

Answer 1

解析：(1)設(shè)切線的斜率為k，

則k＝f′(x)＝2x²－4x＋3＝2(x－1)²＋1，

當x＝1時，k_min＝1.又f(1)＝，

所以所求切線的方程為y－＝x－1，

即3x－3y＋2＝0.

(2)f′(x)＝2x²－4ax＋3，要使y＝f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

必須滿足f′(x)＞0，即對任意的x∈(0，＋∞)，恒有f′(x)＞0，f′(x)＝2x²－4ax＋3＞0，

∴a＜＝＋，而＋≥，

當且僅當x＝時，等號成立．

所以a＜，

所求滿足條件的a值為1.