Question

【題目】已知平面上兩定點M（0，﹣2）、N（0，2），P為一動點，滿足||||

（I）求動點P的軌跡C的方程；

（II）若A、B是軌跡C上的兩不同動點，且λ.分別以A、B為切點作軌跡C的切線，設(shè)其交點Q，證明為定值.

Answer 1

【答案】（I）x2＝8y

（II）見解析

【解析】

（I）先設(shè)P（x，y），求動點P的軌跡C的方程，即尋找x，y之間的關(guān)系，結(jié)合向量的坐標運算即可得到．

（II）先設(shè)出A，B兩點的坐標，利用向量關(guān)系及向量運算法則，用A，B的坐標表示出，最后看其是不是定值即可．

（I）設(shè)P（x，y）.

由已知 （x，y+2），（0，4），（﹣x，2﹣y），

4y+8.

||||＝4

∵||||

∴4y+8＝4整理，得x2＝8y

即動點P的軌跡C為拋物線，其方程為x2＝8y.

（II）由已知N（0，2）.

即得（﹣x1，2﹣y1）＝λ（x2，y2﹣2）

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.由λ

即得（﹣x1，2﹣y1）＝λ（x2，y2﹣2），

∴﹣x1＝λx2…（1），

2﹣y1＝λ（y2﹣2）…（2）

將（1）式兩邊平方并把x12＝8y1，x2/span>2＝8y2代入得y1＝y2

解得 y1＝2λ，y2，

且有x1x2＝﹣λx22＝﹣8λy2＝﹣16.

拋物線方程為 y＝，求導得y′x.

所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是 yx1（x﹣x1）+y1，yx2（x﹣x2）+y2，

即yx1xx12，yx2xx22

解出兩條切線的交點Q的坐標為 （，）＝（，﹣2）

所以 （，﹣4）（x2﹣x1，y1﹣y2）

（x22﹣x12）﹣4（x22x12）＝0

所以 為定值，其值為0.