Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+x²-ax（a，x∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）對應曲線上平行于x軸的所有切線的方程；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

解：（I）若a=1，則f（x）=x³+x²-x，∴f′（x）=3x²+2x-1．
令f′（x）=0?3x²+2x-1=0?x=-1或x=．
把x=-1代入f（x）=x³+x²-x得：f（-1）=1．所以切線方程為：y-1=0×（x+1）?y-1=0；
把x=代入f（x）=x³+x²-x得：f（）=．所以切線方程為：y-=0×（x-）?y-=0．
（II）：由題得：x＞
∵=ax²+x-a-lnx；
∴g′（x）=2ax+1-=；
所以：g′（x）≥0?≥0?2ax²+x-1≥0．
①當a=0時，2ax²+x-1=x-1≥0?x≥1，此時，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[1，+∞），
②當a≤-，2ax²+x-1≥0恒成立，此時，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[，+∞），
③當a＞-且a≠0時，2ax²+x-1≥0?≤x≤，
（Ⅰ）當-＜a＜0或a＞1時，有＞，此時，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[，+∞）；
（Ⅱ）當0＜a＜1時，有＜，此時，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[，+∞），
綜合可得當a≤-或0＜a＜1時，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[，+∞），
當a=0時，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[1，+∞），
當-＜a＜0或a＞1時，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[，+∞）．
分析：（I）先求出函數(shù)f（x）=ax³+x²-ax的導函數(shù)，利用導函數(shù)值等于0求出對應的，并求出對應點的坐標，即可得到切線方程．
（II）先求出其導函數(shù)，再求出導函數(shù)大于等于0的區(qū)間即可得到其單調(diào)遞增區(qū)間，注意是在定義域內(nèi)找增減區(qū)間，要避免出錯．
點評：本題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．切線斜率的求法是先求函數(shù)的導函數(shù)，切點處的導函數(shù)值極為切線斜率，還考查了對數(shù)函數(shù)的導數(shù)，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識，考查計算能力，屬于中檔題．