Question

已知二次函數(shù)y=f₁(x)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過（1，1）點(diǎn)，反比例函數(shù)y=f₂(x)的圖象與直線y=x的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為8，f(x)=f₁(x)+f₂(x)

（1）求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

（2）證明：當(dāng)a＞3時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解；

Answer 1

解：（1）由已知，設(shè)f₁(x)=ax²,由f₁(1)=1得a=1，∴f₁(x)=x²,設(shè)f₂(x)=(k＞0)，它的圖象與直線y=x的交點(diǎn)分別為A(,),B(-,-)，

    由|AB|=8得k=8,∴f₂(x)=.

    故f(x)=x²+.

（2）由f(x)=f(a)得x²+=a²+,

    而(x-a)(x+a-)=0,方程一個(gè)解為x₁=a,方程x+a-=0化為

ax²+a²x-8=0,由a＞3知Δ＞0

∴x₂=,

x₃=.

∵x₂＜0,x₃＞0,x₁≠x₂,且x₂≠x₃,

x₁=x₃時(shí)可得a⁴=4a.

∴a=0或a=.

    這與a＞3矛盾，∴x₁≠x₃.

    故原方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解.