已知各項均為實數(shù)的數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,它的前n項和為Sn,且滿足S4=2S2+8.
(1)求公差d的值;
(2)若數(shù)列{an}的首項的平方與其余各項之和不超過10,則這樣的數(shù)列至多有多少項;
(3)請直接寫出滿足(2)的項數(shù)最多時的一個數(shù)列(不需要給出演算步驟).
【答案】分析:(1)根據(jù)S4=2S2+8,利用等差數(shù)列的前n項和的公式列出方程,求出公差d即可;
(2)根據(jù)a1大于0,小于0,等于0分三種情況,利用公差d=2及枚舉法分別得到數(shù)列至多有多少項即可;
(3)根據(jù)(2)總結(jié)的項數(shù)最多時的結(jié)論,給a1一個實數(shù)值,即可到底滿足條件的一個數(shù)列.
解答:解:(1)根據(jù)題意可知:4a1-6d=2(2a1-d)+8,解得d=2;
(2)考慮到d=2,且首項的平方與其余各項之和不超過10,所以可用枚舉法研究.
①當a1=0時,02+d+2d=0+2+4≤10,而02+d+2d+3d=0+2+4+6>10,此時,數(shù)列至多3項;
②當a1>0時,可得數(shù)列至多3項;
③當a1<0時,a12+a1+d+a1+2d+a1+3d≤10,即a12+3a1+2≤0,△=1>0,此時a1有解.
而a12+a1+d+a1+2d+a1+3d+a1+4d≤10,即a12+4a1+10≤0,△=-24<0,此時a1無解.
所以a1<0時,數(shù)列至多有4項.
(3)a1=-1時,數(shù)列為:-1,1,3,5;或a1=-2時,數(shù)列為:-2,0,2,4.
點評:考查學生掌握等差數(shù)列的通項公式及前n項和的公式,會利用枚舉法解決實際問題.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

20、已知各項均為實數(shù)的數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,它的前n項和為Sn,且滿足S4=2S2+8.
(1)求公差d的值;
(2)若數(shù)列{an}的首項的平方與其余各項之和不超過10,則這樣的數(shù)列至多有多少項;
(3)請直接寫出滿足(2)的項數(shù)最多時的一個數(shù)列(不需要給出演算步驟).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

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(2)若數(shù)列{an}的首項的平方與其余各項之和不超過10,則這樣的數(shù)列至多有多少項;
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