Question

13．若函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a＞0）的極大值為6，極小值為2，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（　�。�

• A． （-∞，-1）
• B． （-1，1）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，-1）和（1，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a＞0）的極大值為6，極小值為2，求導(dǎo)f′（x）=0，求得該函數(shù)的極值點(diǎn)x₁，x₂，并判斷是極大值點(diǎn)x₁，還是極小值點(diǎn)x₂，代入f（x₁）=6，f（x₂）=2，解方程組可求得a，b的值，再由f′（x）＜0即可得到．

解答 解：：令f′（x）=3x²-3a=0，得x=±$\sqrt{a}$，
令f′（x）＞0得x＞$\sqrt{a}$或x＜-$\sqrt{a}$；令f′（x）＜0得-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$．
即x=-$\sqrt{a}$取極大，x=$\sqrt{a}$取極�。�
∵函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a＞0）的極大值為6，極小值為2，
∴f（$\sqrt{a}$）=2，f（-$\sqrt{a}$）=6，
即a$\sqrt{a}$-3a$\sqrt{a}$+b=2且-a$\sqrt{a}$+3a$\sqrt{a}$+b=6，
得a=1，b=4，
則f′（x）=3x²-3，由f′（x）＜0得-1＜x＜1．
則減區(qū)間為（-1，1）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查解方程的運(yùn)算能力，屬于中檔題．