Question

1．下列函數中，既是奇函數，又在定義域內為減函數的是（　�。�

• A． $y=ln\frac{1-x}{1+x}$
• B． $y=x+\frac{1}{x}$
• C． $y=\frac{1}{x}$
• D． y=xcosx

Answer 1

分析 根據奇函數定義，反比例函數單調性，以及對數函數單調性、復合函數單調性，函數單調性定義，及對函數$y=x+\frac{1}{x}$的單調性的掌握便可得出正確選項．

解答 解：A．解$\frac{1-x}{1+x}＞0$得，-1＜x＜1；
$ln\frac{1-（-x）}{1-x}=ln（\frac{1-x}{1+x}）^{-1}=-ln\frac{1-x}{1+x}$；
∴該函數是奇函數；
$y=ln\frac{1-x}{1+x}=ln\frac{-（1+x）+2}{1+x}$=$ln（-1+\frac{2}{1+x}）$；
$t=-1+\frac{2}{1+x}$在（-1，1）上單調遞減，y=lnt單調遞增；
∴復合函數$y=ln（-1+\frac{2}{1+x}）$在（-1，1）上為減函數；
∴該選項正確；
B.$y=x+\frac{1}{x}$的定義域為{x|x≠0}；
該函數在定義域上沒有單調性，∴該選項錯誤；
C.$y=\frac{1}{x}$在定義域上沒有單調性，∴該選項錯誤；
D．y=xcosx，x增大時，cosx可能不變，∴該函數沒有單調性；
∴該選項錯誤．
故選A．

點評 考查分式不等式的解法，奇函數的定義，函數單調性定義，反比例函數、對數函數和復合函數的單調性，并且清楚$y=x+\frac{1}{x}$的單調性．