Question

已知橢圓上的點(diǎn)到橢圓右焦點(diǎn)的最大距離為，離心率，直線過點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）．

解析試題分析：（1）設(shè)，橢圓上的點(diǎn)到橢圓右焦點(diǎn)的最大距離為，離心率，可得求得a和b；（2）由（1）可得橢圓的方程，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），(ⅰ) 當(dāng)垂直于軸時(shí)，由知，C上不存在點(diǎn)P使成立；（ⅱ）當(dāng)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-1），代入橢圓的方程中整理得方程△＞0．由韋達(dá)定理可求得和的表達(dá)式，假設(shè)存在點(diǎn)P，使成立，則其充要條件為：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₁+x₂，y₁+y₂），代入橢圓方程；把A，B兩點(diǎn)代入橢圓方程，最后聯(lián)立方程求得c，進(jìn)而求得P點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fb/0/18unv3.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上，
將代入橢圓方程，得，即可求出k的值和P的坐標(biāo)以及l(fā)的方程．
解：（1）由條件知，解得，
所以，故橢圓方程為．
（2）C上存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立．
由（Ⅰ）知C的方程為+=6．設(shè)
（ⅰ）當(dāng)垂直于軸時(shí)，由知，C上不存在點(diǎn)P使成立．
（ⅱ）
將
    
于是 , =,
C 上的點(diǎn)P使成立的充要條件是，
設(shè)，則
所以 ．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fb/0/18unv3.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上，
將代入橢圓方程，得：，所以，
當(dāng)時(shí)，， ；
當(dāng)時(shí)，， ．
綜上，C上存在點(diǎn)使成立，
此時(shí)的方程為．     
考點(diǎn)：1．直線與圓錐曲線的關(guān)系；2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．