Question

已知函數(shù)f(x)=

2-( 1 2 )x，x≤0 2x2+1，x＞0

，g(x)=kx，若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和函數(shù)g（x）的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)g（x）=kx和y=2x²+1（x＞0）相切時(shí)，由斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)A的坐標(biāo)，求得切線(xiàn)斜率的值，數(shù)形結(jié)合合可得則實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和函數(shù)g（x）的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
當(dāng)直線(xiàn)g（x）=kx和y=2x²+1（x＞0）相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)A（x₀，2x02+1），
則切線(xiàn)的斜率k=

2x02+1-0

x0-0

=f′（x₀）=4x₀，解得 x₀=

2

2

．
此時(shí)，k=2

2

，數(shù)形結(jié)合合可得函數(shù)f（x）的圖象和函數(shù)g（x）的圖象有3個(gè)不同的零點(diǎn)，
則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（2

2

，+∞），
故答案為：（2

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．