Question

17．在平面直角坐標系xOy中，點P為雙曲線x²-2y²=1的左支上的一個動點，若點P到直線x+$\sqrt{2}$y-3=0的距離大于c恒成立，則實數c的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{6}$

Answer 1

分析 先求出雙曲線的漸近線，結合直線和漸近線平行求出兩平行直線的距離即可得到結論．

解答 解：雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
而直線x+$\sqrt{2}$y-3=0的斜率k=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即直線x+$\sqrt{2}$y-3=0與漸近線y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，即x+$\sqrt{2}$y=0平行，
則兩條平行直線的距離d=$\frac{|-3-0|}{\sqrt{1+（\sqrt{2}）^{2}}}=\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
若點P到直線x+$\sqrt{2}$y-3=0的距離大于c恒成立，
則c≤$\sqrt{3}$，
即c的最大值為$\sqrt{3}$，
故選：B．

點評 本題主要考查雙曲線的性質的應用，求出雙曲線以及平行直線的距離是解決本題的關鍵．