Question

已知雙曲線

x2

4

-y²=1，求過點A（3，-1）且被點A平分的弦MN所在直線的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：假設存在，兩個交點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），利用點差法求得直線的斜率，進一步求出直線方程，然后聯(lián)立直線與曲線方程進行檢驗．

解答： 解：假設存在，兩個交點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
所以

x 2 1

4

-

y

2 1

=1，

x 2 2

4

-

y

2 2

=1，兩式相減得

(x1+x2)(x1-x2)

4

=（y₁+y₂）（y₁-y₂），
又

x1+x2

2

=3，

y1+y2

2

=-1，∴

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

，
所以直線的方程為y+1=-

3

4

（x-3），即3x+4y-5=0．
由

3x+4y-5=0 x2 4 -y2=1

得：5x²-30x+41=0，
∴△=30²-20×41＞0，
∴直線3x+4y-5=0與雙曲線

x2

4

-y²=1有兩個交點，
∴MN所在直線的方程是3x+4y-5=0．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的關鍵是充分運用數(shù)形結合的數(shù)學思想、方程的數(shù)學思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想來解決較為復雜的綜合題．