Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)對于任意（），都有式子成立（其中為常數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）利用函數(shù)構(gòu)造一個數(shù)列，方法如下：
對于給定的定義域中的，令，，…，，…
在上述構(gòu)造過程中，如果（=1，2，3，…）在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；如果不在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過程就停止.
（�。┤绻�可以用上述方法構(gòu)造出一個常數(shù)列，求的取值范圍；
（ⅱ）是否存在一個實(shí)數(shù)，使得取定義域中的任一值作為，都可用上述方法構(gòu)造出一個無窮數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；
（ⅲ）當(dāng)時，若，求數(shù)列的通項公式．

Answer 1

解：（Ⅰ）令（），則，而，
故=，
∴ =（）．        ………………………………3分
（Ⅱ）（�。└鶕�(jù)題意，只需當(dāng)時，方程有解，   ………………4分
亦即方程 有不等于的解．
將代入方程左邊，左邊為1，與右邊不相等．故方程不可能有解．
………………5分
由 △=，得 或，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．      …………………………7分
（ⅱ）假設(shè)存在一個實(shí)數(shù)，使得取定義域中的任一值作為x₁，都可以用上述方法構(gòu)造出一個無窮數(shù)列，那么根據(jù)題意可知，=在R中無解，
……………8分
亦即當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)解．
由于不是方程的解，
所以對于任意x∈R，方程無實(shí)數(shù)解，
因此解得．
∴ 即為所求的值．        ……………………………………11分
（ⅲ）當(dāng)時，，所以，．
兩邊取倒數(shù)，得，即．
所以數(shù)列{}是首項為，公差的等差數(shù)列．
故，所以，，
即數(shù)列的通項公式為． ……………………………………14分