Question

正項數(shù)列{a_n}滿足f（a_n）=

2

2-an

（a_n≠2），且{a_n}的前n項和S_n=

1

4

[3-

2

f(an)

]²．
（Ⅰ）求證：{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若b_n=

an

2n

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a_n與S_n的關(guān)系求得a_n-a_n-1=2，由等差數(shù)列的定義可得數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得b_n=

an

2n

=

2n-1

2n

，利用錯位相減法求得數(shù)列的和．

解答： （Ⅰ）證明：∵f（a_n）=

2

2-an

（a_n≠2），S_n=

1

4

[3-

2

f(an)

]²．
∴S_n=

1

4

[3-（2-a_n）]²⁼

1

4

(an+1)2．
當(dāng)n=1時，由a₁=

1

4

(a1+1)2，得a₁=1，
當(dāng)n≥2時，S_n-1=

1

4

(an-1+1)2，
由a_n=S_n-S_n-1=

1

4

（

a

2 n

-

a

2 n-1

+2a_n-2a_n-1），
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∴當(dāng)n≥2時，由題意a_n＞0，則a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知{a_n}的通項公式為a_n=2n-1，
∴b_n=

an

2n

=

2n-1

2n

，
∴T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-1

2n+1

，
兩式作差得

1

2

T_n=

1

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

，
∴

1

2

T_n=2×（

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）-

2n-1

2n+1

-

1

2

=2×

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

-

1

2

=

3

2

-

2n+3

2n+1

，
∴T_n=3-

2n+3

2n

．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義及數(shù)列求和等知識，考查學(xué)生的運算能力，屬中檔題．