Question

為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層．體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：cm）滿足關系：(，為常數)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
（1）求的值及的表達式；
（2）隔熱層修建多厚時，總費用達到最小？并求出最小值．

Answer 1

（1）;（2）即隔熱層修建厚時，總費用達到最小，最小值為70萬元．

試題分析：（1）由建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系： (0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．我們可得C（0）=8，得k=40，進而得到C(x)＝．建造費用為C₁（x）=6x，則根據隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f（x），我們不難得到f（x）的表達式．
（2）由（1）中所求的f（x）的表達式，我們利用導數法，求出函數f（x）的單調性，然后根據函數單調性易求出總費用f（x）的最小值．
（1）當時，，，         2分
            4分
（2），                  5分
設，.
當且僅當這時，因此的最小值為70.
即隔熱層修建厚時，總費用達到最小，最小值為70萬元．   8分
（本題亦可用導數求解）