Question

已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和4個黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球．
（Ⅰ）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；
（Ⅱ）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球恰有1個為黑球”為事件A；“從乙盒內(nèi)取出的2個球都是黑球”為事件B，求在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率；
（Ⅲ）設(shè)ξ為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件C，“從甲盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件D．由事件C、D互斥，能求出取出的4個球中恰有1個紅球的概率．
（Ⅱ）先求出P（A），再由P（AB）=P（D），由此利用條件概率公式P（B/A）=

P(AB)

P(A)

能求出在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率．
（Ⅲ）由題設(shè)知ξ可能的取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3，由此能求出ξ的分布列的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件C，“從甲盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件D．由于事件C、D互斥，
則P（C）=

C 2 3

C 2 4

•

C 1 2 • C 1 4

C 2 6

=

4

15

，
P（D）=

C 1 3

C 2 4

•

C 2 4

C 2 6

=

1

5

，
∴取出的4個球中恰有1個紅球的概率為
P（C+D）=P（C）+P（D）=

4

15

+

1

5

=

7

15

．
（Ⅱ）∵“從甲盒內(nèi)取出的2個球恰有1個為黑球”為事件A，
∴P（A）=

C 1 1 C 1 3

C 2 4

=

1

2

，
∵“從乙盒內(nèi)取出的2個球都是黑球”為事件B，
∴P（AB）=P（D）=

1

5

，
∴在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率P（B/A）=

P(AB)

P(A)

=

1 5

1 2

=

2

5

．
（Ⅲ）由題設(shè)知ξ可能的取值為0，1，2，3，
由（Ⅰ）、（Ⅱ）得P（ξ=0）=

C 2 3

C 2 4

•

C 2 4

C 2 5

=

1

5

，
P（ξ=1）=

7

15

，
P（ξ=3）=

C 1 3

C 2 4

•

1

C 2 6

=

1

30

，
∴P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

3

10

，
∴ξ的分布列為

∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

1

5

+1×

7

15

+2×

3

10

+3×

1

30

=

7

6

．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求法，考查條件概率的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運用．