Question

如圖，△ABC和△A₁AC是正三角形，平面A₁AC⊥底面ABC，A₁B₁⊥∥AB，A₁B₁=AB=2，
（I）求直線AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值大��；
（II）已知點D是A₁B₁的中點，在平面ABCD內(nèi)擱一點E，使DE⊥平面AB₁C，求點E到AC和B的距離．

Answer 1

解：∵平面A₁AC⊥底面ABC，作A₁O⊥AC于點O，
∴A₁O⊥底面ABC．
又A₁B₁=AB=2，△ABC和△A₁AC是正三角形，知∠ABC=∠A₁AC=60°，
∴AO=1，，BO⊥AC（2分）
故以O(shè)為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，
則A（0，-1，0），，，C（0，1，0），．
由，可得．
∴，
設(shè)平面AB₁C的法向量為，則，
解得
由
而AA₁與平面AB₁C所成角，即向量與平面AB₁C的法向量所成銳角的余角，
所以直線AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值為；

（Ⅱ）連接A₁B，取AC中點O，連接A₁O、BO，
易得A₁O⊥AC，所以AC⊥平面A₁OB，AC⊥A₁B，又四邊形AA₁B₁B是正方形，所以AB₁⊥A₁B，
又A₁B⊥AC，∴A₁B⊥平面AB₁C，過D作DF∥A₁B，
很明顯DF交AB于E，此時點E到AC和B的距離分別是1、．
分析：（1）由題意及圖形，有已知的面面垂直得到空間中從同一定點出發(fā)的三條兩兩垂直的直線進而建立空間直角坐標系，在利用空間向量知識求出線面角；
（2）由題意及圖形利用線面平行的性質(zhì)進和在三角形中進而求解．
點評：（1）此問重點考查了利用空間向量的知識求解線面角的三角函數(shù)值；
（2）此問重點考查了直線與平面平行求解點到線的距離，還考查了在三角形中求解兩點間的距離．