設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=n-an,n∈N*.
(Ⅰ)證明數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)設cn=-2nan+2n,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求證:Tn<4.
解:(Ⅰ)∵n=1時,S
1=1-a
1,即a
1=1-a
1,a
1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
.
∵S
n=n-a
n,∴S
n-1=n-1-a
n-1,n>1.
兩式相減,得a
n=
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a
n-1+
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.…(3分)
a
n-1=
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(a
n-1-1).
從而{a
n-1}為等比數(shù)列,首項a
1-1=-
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,公比為
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.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a
n-1=
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.從而a
n=
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.…(8分)
∵c
n=-2na
n+2n,∴
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=
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,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/52677.png)
.…(10分)
從而
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,
兩式相減,得
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.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/52680.png)
-
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=
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.
∴T
n<4.…(13分)
分析:(Ⅰ)求出a
1,然后利用a
n=S
n-S
n-1得到a
n與a
n-1的關系,化簡為數(shù)列{a
n-1}中任意相鄰兩項之間的關系,通過等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列;
(Ⅱ)通過(Ⅰ)求出數(shù)列的通項公式,結合c
n=-2na
n+2n,求出數(shù)列{c
n}的前n項和為T
n的表達式,利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和,即可求證:T
n<4.
點評:證明數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,常用數(shù)列的定義證明,在第二問中,錯位相減法是數(shù)列求和的常用方法,注意構造法在數(shù)列中的應用.