(2005•上海模擬)(1)若直角三角形兩直角邊長(zhǎng)之和為12,求其周長(zhǎng)p的最小值;
(2)若三角形有一個(gè)內(nèi)角為arccos
7
9
,周長(zhǎng)為定值p,求面積S的最大值;
(3)為了研究邊長(zhǎng)a、b、c滿足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面積是否存在最大值,現(xiàn)有解法如下:S=
1
2
absinC≤
1
2
×9×8sinC=36sinC
,要使S的值最大,則應(yīng)使sinC最大,即使∠C最大,也就是使∠C所對(duì)的邊c邊長(zhǎng)最大,所以,當(dāng)a?9,b?8,c?4時(shí)該三角形面積最大,此時(shí)cosC=
43
48
sinC=
455
48
,所以,該三角形面積的最大值是
3
455
4
.以上解答是否正確?若不正確,請(qǐng)你給出正確的解答.
分析:(1)設(shè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為x、12-x,斜邊長(zhǎng)為y,由勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最小值,即得周長(zhǎng)p的
最小值.
(2)根據(jù)周長(zhǎng)p=x+y+
x2+y2-2xy•
7
9
,利用基本不等式求得 xy≤
9
64
p2
,再由S=
1
2
xysin(arccos
7
9
)
=
2
2
9
xy
,求得面積S的最大值.
(3)不正確,由海倫公式化簡(jiǎn)可得16S2=-[a2-(b2+c2)]2+4b2c2,而-[a2-(b2+c2)]2≤0,b2≤64,c2≤16,
則S≤16,故當(dāng)三角形的邊長(zhǎng)a、b、c 分別為 4
5
,8,4
 的直角三角形時(shí),其面積取得最大值16.
另解:S=
1
2
bcsinA≤
1
2
•8•4•sin90°=16
解答:解:(1)設(shè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為x、12-x,斜邊長(zhǎng)為y,則 y=
x2+(12-x)2
=
2(x-6)2+72
≥6
2
,
∴兩直角邊長(zhǎng)都為6時(shí),周長(zhǎng)p的最小值為 12+6
2

 (2)設(shè)三角形中邊長(zhǎng)為x、y的兩邊所夾的角為 arccos
7
9
,則周長(zhǎng)p=x+y+
x2+y2-2xy•
7
9
,
p≥2
xy
+
2xy-
14
9
xy
=
8
3
xy
,即 xy≤
9
64
p2

又S=
1
2
xysin(arccos
7
9
)=
2
2
9
xy≤
2
32
p2
,∴面積S的最大值為
2
32
p2

(3)不正確.16S2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=[(b+c)2-a2][a2-(b-c)2]
=-a4+2(b2+c2)a2-(b2-c22=-[a2-(b2+c2)]2+4b2c2,
而-[a2-(b2+c2)]2≤0,b2≤64,c2≤16,則S≤16.
其中等號(hào)成立的條件是 a2=b2+c2,b=8,c=4,則 a=4
5

∴當(dāng)三角形的邊長(zhǎng)a、b、c 分別為 4
5
,8,4
的直角三角形時(shí),其面積取得最大值16.
( 另解:S=
1
2
bcsinA≤
1
2
•8•4•sin90°=16
).
點(diǎn)評(píng):本題考查基本不等式,反余弦函數(shù)的定義,海倫公式的應(yīng)用,三角形中的幾何計(jì)算,屬于難題.
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4.8
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