Question

（03年北京卷理）（12分）

如圖，正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為，側(cè)棱長為4.E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，

EF∩BD=G.

   （Ⅰ）求證：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；

   （Ⅱ）求點(diǎn)D₁到平面B₁EF的距離d；

   （Ⅲ）求三棱錐B₁―EFD₁的體積V.

 

Answer 1

解析: （Ⅰ）證法一：

連結(jié)AC.

∵正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，

∴AC⊥BD，又AC⊥D₁D，故AC⊥平面BDD₁B₁.

∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，故EF∥AC，

∴EF⊥平面BDD₁B₁，

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

  證法二：

    ∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD. 又 EF⊥D₁D

∴EF⊥平面BDD₁B₁，   ∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

（Ⅱ）在對(duì)角面BDD₁B₁中，作D₁H⊥B₁G，垂足為H.

∵平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，且平面B₁EF∩平面BDD₁B₁=B₁G，

∴D₁H⊥平面B₁EF，且垂足為H，∴點(diǎn)D₁到平面B₁EF的距離d=D₁H.

解法一：

在Rt△D₁HB₁中，D₁H=D₁B₁?sin∠D₁B₁H.  

∵，

 

 ∴

    解法二：

    ∵△D₁HB₁～△B₁BG，  ∴， 

∴

    解法三：

    連結(jié)D₁G，則三角形D₁GB₁的面積等于正方形DBB₁D₁面積的一半，

    即，

    （Ⅲ）