Question

1．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（$\sqrt{13}$，0），且過點(diǎn)（3，0），
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知經(jīng)過點(diǎn)E（1，2）的直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，使得$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{EB}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)以及過定點(diǎn)，確定a，c的值即可得到結(jié)論．
（2）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用直線和雙曲線進(jìn)行聯(lián)立方程，利用設(shè)而不求的思想結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（$\sqrt{13}$，0），且過點(diǎn)（3，0），
∴由題知c=$\sqrt{13}$，a=3，∴b=2，
即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$
（2）∵$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{EB}$
可知E（1，2）是A，B的中點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{9}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
兩式作差得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}$-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{9}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，
即∴$\frac{4}{9}\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=1}\\{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∴$k=\frac{2}{9}$
又因?yàn)檫^E點(diǎn)，所以直線的方程為 2x-9y+16=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線方程以及直線與雙曲線相交的位置關(guān)系的應(yīng)用，聯(lián)立方程組利用消元法以及設(shè)而不求的思想是解決本題的關(guān)鍵．