已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+a
x
,a∈R是常數(shù).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)求a=-
1
2
時(shí),f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
③求證:(1+
1
22
)(1+
1
24
)•…•(1+
1
22n
)<e
(n∈N*,e為自然對數(shù)的底數(shù)).
分析:(1)討論含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題,先求出導(dǎo)函數(shù)f′(x),令f′(x)>0,本小題要對參數(shù)a分a≥0,-1<a<0,a≤-1三種情形進(jìn)行討論,對運(yùn)算能力要求較高;
(2),由(1)的結(jié)論-1<a=-
1
2
<0,所以分三個(gè)單調(diào)區(qū)間來利用單調(diào)性來討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題.
(3)是近年來高考考查的熱點(diǎn)問題,即與函數(shù)結(jié)合證明不等式問題,常用的解題思路是利用前面的結(jié)論構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性,對于函數(shù)取單調(diào)區(qū)間上的正整數(shù)自變量n有某些結(jié)論成立,進(jìn)而解答出這類不等式問題的解.
解答:解:(1)f′(x)=
1
1+x
+
a
2
x
=
ax+2
x
+a
2
x
(1+x)
,
若a≥0,則f′(x)>0,f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增;若a≤-1,
則f′(x)<0,f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減;若-1<a<0,由f′(x)=0
解得,x1=
2-a2-2
1-a2
a2
,x2=
2-a2+2
1-a2
a2

直接討論f′(x)知,f(x)在[0,
2-a2-2
1-a2
a2
)

(
2-a2+2
1-a2
a2
,+∞)
單調(diào)遞減,
[
2-a2-2
1-a2
a2
,
2-a2+2
1-a2
a2
]
單調(diào)遞增.
(2)觀察得f(0)=0,a=-
1
2
時(shí),
由①得f(x)在[0,7-4
3
)
單調(diào)遞減,
所以f(x)在[0,7-4
3
)
上有且只有一個(gè)零點(diǎn);
f(x1)=f(7-4
3
)<f(0)=0
,
計(jì)算得f(x2)=f(7+4
3
)=ln(8+4
3
)-
1
2
(2+
3
)>lne2-2=0
,
f(x1)f(x2)<0且f(x)在區(qū)間[7-4
3
,7+4
3
]
單調(diào)遞增,
所以f(x)在[7-4
3
,7+4
3
]
上有且只有一個(gè)零點(diǎn);
根據(jù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)單調(diào)性比較知,
存在充分大的M∈R,使f(M)<0,f(x2)f(M)<0
且f(x)在區(qū)(7+4
3
,+∞)
單調(diào)遞減,
所以f(x)在(7+4
3
,7M)

從而在(7+4
3
,+∞)
上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,a=-
1
2
時(shí),f(x)有3個(gè)零點(diǎn).
(3)取a=-1,f(x)=ln(1+x)-
x

由①得f(x)單調(diào)遞減,
所以?x>0,f(x)<f(0)=0,ln(1+x)<
x
,
從而ln(1+
1
22
)(1+
1
24
)…(1+
1
22n

=ln(1+
1
22
)ln(1+
1
24
)+…(1+
1
22n

1
2
+
1
22
+…+
1
2n
=1-
1
2n
<1

由lnx單調(diào)遞增得(1+
1
22
)(1+
1
24
)••(1+
1
22n
)<e
點(diǎn)評(píng):單調(diào)性刻畫函數(shù)兩個(gè)變量變化趨勢的一致性,是認(rèn)識(shí)函數(shù)的重要角度,運(yùn)用單調(diào)性可以確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),考查導(dǎo)數(shù)使單調(diào)性可以定量、精確研究這一重要工具.參數(shù)是可變的常數(shù),處理參數(shù)是比較高端的數(shù)學(xué)素養(yǎng),本題考查了這一素養(yǎng),因此對學(xué)生的綜合應(yīng)用能力要求較高.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實(shí)數(shù)a,b的值:
(2)當(dāng)a<3時(shí),令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線l的方程;
(2)當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(shí)(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當(dāng)k>0時(shí),試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,若過兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實(shí)數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當(dāng)1<a<2時(shí),若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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