Question

若函數(shù)f（x）同時(shí)滿足：①對(duì)于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；  ②對(duì)于定義域上的任意x₁，x₂，當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，則稱函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”．給出下列四個(gè)函數(shù)中：
（1）f（x）=

1

x

   
（2）f（x）=x²  
（3）f（x）=

2x-1

2x+1

 
（4）f（x）=

-x2   x≥0 x2    x＜0

，
能被稱為“理想函數(shù)”的有

（4）

（填相應(yīng)的序號(hào)）．

Answer 1

分析：先理解已知兩條性質(zhì)反映的函數(shù)性質(zhì)，①f（x）為奇函數(shù)，②f（x）為定義域上的單調(diào)減函數(shù)，由此意義判斷題干所給四個(gè)函數(shù)是否同時(shí)具備兩個(gè)性質(zhì)即可

解答：解：依題意，性質(zhì)①反映函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)，性質(zhì)②反映函數(shù)f（x）為定義域上的單調(diào)減函數(shù)，
（1）f（x）=

1

x

為定義域上的奇函數(shù)，但不是定義域上的單調(diào)減函數(shù)，其單調(diào)區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞），故排除（1）；
（2）f（x）=x² 為定義域上的偶函數(shù)，排除（2）；
（3）f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，定義域?yàn)镽，由于y=2^x+1在R上為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，排除（3）；
（4）f（x）=

-x2   x≥0 x2    x＜0

的圖象如圖：顯然此函數(shù)為奇函數(shù)，且在定義域上為減函數(shù)，故（4）為理想函數(shù)
故答案為 （4）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象表達(dá)式反映的函數(shù)性質(zhì)，對(duì)新定義函數(shù)的理解能力，奇函數(shù)的定義，函數(shù)單調(diào)性的定義，基本初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性及其判斷方法，復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷方法