Question

圖中的多邊形均為正多邊形．圖①中F₁、F₂為橢圓的焦點(diǎn)，M、N為所在邊中點(diǎn)，則該橢圓的離心率e₁的值為

3

-1

，圖②中F₁、F₂為雙曲線的焦點(diǎn)，M、N、P、Q分別為所在邊中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率e₂的值為

13 +1

3

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)正三角形的邊長為m，由正三角形的性質(zhì)和橢圓的定義算出焦距2c和長軸2a關(guān)于m的式子，再根據(jù)離心率的公式即可算出該橢圓的離心率．
（2）設(shè)正六邊形的邊長為m，作NG⊥F₁F₂，垂足為點(diǎn)G，由勾股定理和正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義算出2a=|NF₂|-|NF₁|=（

13 m

2

-

1

2

m），而焦距2c=|F₁F₂|=2m，由此即可算出該雙曲線的離心率．

解答：解：（1）設(shè)正三角形的邊長為m，則
焦距2c=|F₁F₂|=m，2a=|MF₁|+|MF₂|=

1

2

m+

3

2

m
∴橢圓的離心率e₁=

2c

2a

=

m

1 2 m+ 3 2 m

=

3

-1；
（2）設(shè)正六邊形的邊長為m，作NG⊥F₁F₂于點(diǎn)G，
則|F₂G|=2m-

1

4

m=

7

4

m，|NG|=

3 m

4

|NF₂|=

( 3 m 4 )2+( 7 4 m)2

=

13 m

2

，得2a=|NF₂|-|NF₁|=（

13 m

2

-

1

2

m）
∵2c=|F₁F₂|=2m，
∴雙曲線的離心率e₂=

2c

2a

=

2m

13 m 2 - 1 2 m

=

13 +1

3

故答案為：

3

-1；

13 +1

3

點(diǎn)評：本題在正三角形和正六邊形中求圓錐曲線的離心率．著重考查了正多邊形的性質(zhì)、橢圓和雙曲線的定義與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．