(2013•日照二模)設(shè)數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),且對任意n∈N*,都有(an-1)(an+3)=4Sn,其中Sn為數(shù)列{an}的前n項和.
(Ⅰ)求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(Ⅱ)若數(shù)列{
4
a
2
n
-1
}
的前n項和為Tn,試證明不等式
1
2
Tn
<1成立.
分析:(I)先將題設(shè)中數(shù)列的和與項的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的項的關(guān)系式,根據(jù)等差數(shù)列的定義證明即可;
(II)求出an,再求出數(shù)列{
4
a
2
n
-1
}
的通項,用裂項相消法求出Tn,根據(jù)Tn的單調(diào)性證明即可.
解答:解:(Ⅰ)∵(an-1)(an+3)=4Sn,當(dāng)n≥2時,(an-1-1)(an-1+3)=4Sn-1
兩式相減,得
a
2
n
-
a
2
n-1
+2an-2an-1=4an
,即(an+an-1)(an-an-1-2)=0,又an>0,∴an-an-1=2.
當(dāng)n=1時,(a1-1)(a1+3)=4a1,∴(a1+1)(a1-3)=0,又a1>0,∴a1=3.
所以,數(shù)是以3為首項,2為公差的等差數(shù)列.
(Ⅱ)由(Ⅰ),a1=3,d=2,∴an=2n+1.
設(shè)bn=
4
an2-1
,n∈N*;∵an=2n+1,∴an2-1=4n(n+1)))
bn=
4
4n(n+1)
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)
=1-
1
n+1
<1

又∵Tn+1-Tn=
n+1
n+2
-
n
n+1
=
1
(n+2)(n+1)
>0
,∴Tn+1TnTn-1>…>T1=
1
2
,
綜上所述:不等式
1
2
Tn<1
成立.
點評:本題考查裂項相消法求數(shù)列的和及利用定義證明等差數(shù)列.
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