Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）a≥﹣2

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函的遞減區(qū)間即可；

（2）問題等價(jià)于在x∈（0，+∞）上恒成立，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解（1）f'（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（3x﹣a）（x+a）

由f'（x）＜0且a＜0得：

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為

（2）依題意x∈（0，+∞）時(shí)，不等式2xlnx≤f'（x）+a2+1恒成立，

等價(jià)于在x∈（0，+∞）上恒成立．

令

則

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減

∴當(dāng)x＝1時(shí)，h（x）取得最大值h（1）＝﹣2

故a≥﹣2