Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-3）²，x∈[0，+∞），存在區(qū)間[a，b]⊆[0，+∞），使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇ka，kb]，則最小的k值為（　�。�

• A．1
• B．4
• C．9
• D．

  1

  4

Answer 1

分析：先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，然后由函數(shù)y=f （x）的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇ka，kb]可判斷出k＞0，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性討論a、b，建立方程，即可得到實(shí)數(shù)k的取值范圍，從而求出最小值．

解答：解：∵f（x）=x（x-3）²=x³-6x²+9x    x∈[0，+∞），
∴f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)f′（x）≥0，則函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增
當(dāng)x∈[1，3]時(shí)f′（x）0，則函數(shù)在[1，3]上單調(diào)遞減
當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)f′（x）＞0，則函數(shù)在（3，+∞）上單調(diào)遞增
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取極大值4，當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取極小值0．
（1）當(dāng)a，b∈[0，1]時(shí)，f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，
∴

f(a)=a(a-3)2=ka f(b)=b(b-3)2=kb

即在[0，1]上存在兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)使得（x-3）²=k
而（x-3）²在[0，1]上單調(diào)遞減，故不存在；
（2）當(dāng)a，b∈[1，3]時(shí)，f（x）在[1，3]上為減函數(shù)，
∴

f(a)=a(a-3)2=kb f(b)=b(b-3)2=ka

即a=b，此時(shí)實(shí)數(shù)a，b的值不存在．
（3）當(dāng)a，b∈（3，+∞）時(shí)，f（x）在（3，+∞）上為增函數(shù)，
∴

f(a)=a(a-3)2=ka f(b)=b(b-3)2=kb

即在（3，+∞）上存在兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)使得（x-3）²=k
而（x-3）²在（3，+∞）上單調(diào)遞增，故不存在；
（4）當(dāng)a∈[0，1），b∈[1，3]時(shí)，1∈[a，b]，f（1）=4=kb
∴k=

4

b

∈[

4

3

，4]
（5）當(dāng)a∈（1，2），b∈[3，+∞）時(shí)，3∈[a，b]，f（3）=0=ka
根據(jù)題意可知k＞0
∴a=0，不可能
（6）當(dāng)a∈[0，1），b∈[3，+∞）時(shí)，3∈[a，b]，f（3）=0=ka，1∈[a，b]，f（1）=4=kb
根據(jù)題意可知k＞0
∴a=0，
令f（x）=x（x-3）²=4解得x=1或4
∴3≤b≤4而k=

4

b

∈[1，

4

3

]
（7）當(dāng)a∈[0，1），b∈[4，+∞）時(shí)，4∈[a，b]，f（4）=1，1∈[a，b]，f（1）=4=kb
根據(jù)題意可知k＞0，∴a=1，
令f（x）=x（x-3）²=4解得x=1或4
∴b=4而k=

4

b

=1．
綜上所述：k∈[1，4]
最小的k值為1
故選A．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，解題的關(guān)鍵是理解題意，將問題正確轉(zhuǎn)化，進(jìn)行分類討論探究，同時(shí)考查了分類討論的思想，方程的思想，考察了推理判斷能力，是一道綜合性較強(qiáng)的題，思維難度大，解題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，屬于難題．