Question

（2009•淄博一模）已知數(shù)列{a}滿足a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2，a₁=2），
（1）求a₂，a₃，a₄
（2）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{

an+λ

2n

}成等差數(shù)列，若存在，求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，證明：S_n≥n³+n²．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算，可得結(jié)論；
（2）假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{

an+λ

2n

}成等差數(shù)列，則

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=1+

2-λ

2n

恒為常數(shù)，由此可得結(jié)論；
（3）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，再結(jié)合二項(xiàng)式定理，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2，a₁=2），
∴a₂=4+4+2=10，a₃=20+8+2=30a₄=60+16+2=78；
（2）解：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{

an+λ

2n

}成等差數(shù)列，則

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=1+

2-λ

2n

恒為常數(shù)
∴2-λ=0，即λ=2
此時(shí)

a1+2

2

=2，

a2+2

2

-

a1+2

2

=1
當(dāng)λ=2時(shí)，數(shù)列{

an+λ

2n

}是首項(xiàng)為2、公差為1的等差數(shù)列
（3）證明：由（2）得

an+λ

2n

=

a1+2

2

+(n-1)=n+1
∴an=(n+1)•2n-2
∴S_n=2•2+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ-2n
∴2S_n=2•2²+3•2³+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹-4n
兩式相減得：
-S_n=2•2+2²+2³+…2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹+2n=-n•2ⁿ⁺¹+2n
∴Sn=n•2n+1-2n
當(dāng)n=1或2時(shí)，有S_n=n³+n²；
當(dāng)n≥3時(shí)，Sn=n•2n+1-2n=2n[（1+1）ⁿ-1]≥2n[1+n+

n(n-1)

2

]=n³+n²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，屬于中檔題．