Question

20．一彈性小球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回原來(lái)高度的$\frac{2}{3}$再落下，設(shè)它第n次著地時(shí)，共經(jīng)過(guò)了S_n，則當(dāng)n≥2時(shí)，有（　　）

• A． S_n的最小值為100
• B． S_n的最大值為400
• C． S_n＜500
• D． S_n≤500

Answer 1

分析 由已知條件利用等比數(shù)列性質(zhì)推導(dǎo)出第n次著地時(shí)共經(jīng)過(guò)了$100+100×\frac{2}{3}×2+100×{（\frac{2}{3}）^2}×2+…+100×{（\frac{2}{3}）^{n-1}}×2$米，由題意S_n是關(guān)于n的單調(diào)增函數(shù)，由此能求出結(jié)果．

解答 解：第一次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)了100米，
第二次著地時(shí)共經(jīng)過(guò)了$100+100×\frac{2}{3}×2$米，
第三次著地時(shí)共經(jīng)過(guò)了$100+100×\frac{2}{3}×2+100×{（\frac{2}{3}）^2}×2$米，
…
以此類(lèi)推，第n次著地時(shí)共經(jīng)過(guò)了$100+100×\frac{2}{3}×2+100×{（\frac{2}{3}）^2}×2+…+100×{（\frac{2}{3}）^{n-1}}×2$米，
∴${S_n}=100+100×\frac{2}{3}×2+100×{（\frac{2}{3}）^2}×2+…+100×{（\frac{2}{3}）^{n-1}}×2$
=$100+\frac{{\frac{400}{3}[1-{{（\frac{2}{3}）}^{n-1}}]}}{{1-\frac{2}{3}}}=100+400[1-{（\frac{2}{3}）^{n-1}}]$，
由題意S_n是關(guān)于n的單調(diào)增函數(shù)，
∴當(dāng)n=2時(shí)，S_n取得最小值${S_2}=\frac{700}{3}$，且S_n＜100+400=500．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．