Question

8．已知a＞2，f（x）=|2x-a|+|x-1|．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）最小值；
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式f（x）≤2-|x-1|有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，求出函數(shù)的分段函數(shù)的形式，從而求出函數(shù)的最小值即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為|2x-a|+|2x-2|≤2，根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得到|2x-a|+|2x-2|≥a-2，問題轉(zhuǎn)化為a-2≤2，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閍＞2，所以$\frac{a}{2}＞1$，
所以$f（x）=\left\{\begin{array}{l}3x-a-1，x≥\frac{a}{2}\\-x+a-1，1≤x≤\frac{a}{2}\\-3x+a+1，x＜1\end{array}\right.$．
可知f（x）在$（-∞，\frac{a}{2}]$單調(diào)遞減，在$[\frac{a}{2}，+∞）$單調(diào)遞增，
所以當(dāng)$x=\frac{a}{2}$時(shí)，f（x）取最小值$\frac{a}{2}-1$．…（5分）
（Ⅱ）不等式f（x）≤2-|x-1|，即|2x-a|+|2x-2|≤2．
因?yàn)閨2x-a|+|2x-2|≥|（2x-a）-（2x-2）|=|a-2|，
當(dāng)（2x-a）（2x-2）≤0，即$1≤x≤\frac{a}{2}$時(shí)，等號(hào)成立，
所以|2x-a|+|2x-2|≥a-2．
因?yàn)殛P(guān)于x的不等式|2x-a|+|2x-2|≤2有解，
所以a-2≤2，得a≤4，
故a的取值范圍是（2，4]．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查絕對(duì)值的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．