Question

如圖，已知兩個(gè)正四棱錐P－ABCD與Q－ABCD的高分別為1和2，AB＝4．

⑴證明PQ⊥平面ABCD；

⑵求異面直線AQ與PB所成的角；

⑶求點(diǎn)P到平面QAD的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　⑴連結(jié)AC、BD，設(shè)由P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐， 　　所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD．從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上， 　　所以PQ⊥平面ABCD 　　由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以． 　　⑵由⑴，平面，故可以分別以直線CA、DB、QP為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系(如上圖)，由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，所以，， 　　于是 　　從而異面直線AQ與PB所成的角是． 　�、怯散�，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0，－，0)，，， 　　設(shè)是平面QAD的一個(gè)法向量， 　　由得．取x＝1，得． 　　所以點(diǎn)P到平面QAD的距離． 　　解法二： 　�、湃�AD的中點(diǎn)M，連結(jié)PM，QM．因?yàn)?I>P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐， 　　所以AD⊥PM，AD⊥QM．從而AD⊥平面PQM． 　　又平面PQM，所以PQ⊥AD．同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD 　�、七B結(jié)AC、BD設(shè)，由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上，從而P、A、Q、C四點(diǎn)共面．取OC的中點(diǎn)N，連結(jié)PN． 　　因?yàn)?I>，所以， 　　從而AQ∥PＮ．∠BPＮ(或其補(bǔ)角)是異面直線AQ與PB所成的角．連接BN， 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0564/0020/950c2865b7ea60994ada2f554f4a3bea/C/Image110.gif" width=209 HEIGHT=28>． 　　 　　 　　所以． 　　從而異面直線AQ與PB所成的角是． 　　⑶由⑴知，AD⊥平面PＱM，所以平面PＱM⊥平面QAD．過(guò)Ｐ作ＰＨ⊥ＱM于h， 　　則PH⊥平面QAD，所以PH的長(zhǎng)為點(diǎn)P到平面QAD的距離． 　　連結(jié)OM，則．所以， 　　又PQ＝PO＋QO＝3，于是． 　　即點(diǎn)P到平面QAD的距離是．