Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），若過F₁的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，求

F2A

•

F2B

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：（Ⅰ）由直線到圓的距離計(jì)算出b，再寫出標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）①當(dāng)AB斜率為0時(shí)，計(jì)算

F2A

•

F2B

的值，
②當(dāng)AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)出AB的方程為：x+1=my，聯(lián)立方程組，求出

F2A

•

F2B

的表達(dá)式，再計(jì)算其范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得圓的方程為x²+y²=b²，
∵直線x-y+

2

=0與圓相切，∴d=

2

2

=b，即b=1，
又e=

c

a

=

2

2

，及a²=b²+c²，得a=2，所以橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）①當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，A（-

2

，0），B（

2

，0）時(shí)，

F2A

•

F2B

=-1
②當(dāng)直線AB的斜率不為0時(shí)，不妨設(shè)AB的方程為：x+1=my
由

x+1=my x2 2 +y2=1

 得：（m²+2）y²-2my-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則：y1+y2=

2m

m2+2

，y1y2=-

1

m2+2

，
∴

F2A

•

F2B

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（my₁-2，y₁）•（my₂-2，y₂）
=（my₁-2）（my₂-2）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂-2m（y₁+y₂）+4
=-

m2+1

m2+2

-2m•

2m

m2+2

+4=

-5m2-1

m2+2

+4
=-1+

9

m2+2

∈(-1，

7

2

]，
由①、②得：

F2A

•

F2B

的取值范圍為[-1，

7

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題是圓錐曲線和向量知識(shí)的綜合，是高考中的常見考點(diǎn)，本題中設(shè)而不求得數(shù)學(xué)方法也是圓錐曲線中最常見的解題方法，計(jì)算時(shí)不要忘了分兩種情況討論．另外，本題也給我們提供了一種解決圓錐曲線問題的思路--向量的方法．