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設虛數z滿足z2-mtz+
m100
4
=0(m
為實常數,m>0且m≠1,t為實數).
(1)求|z|的值;
(2)當t∈N*,求所有虛數z的實部和;
(3)設虛數z對應的向量為
OA
(O為坐標原點),
OA
=(c,d)
,如c-d>0,求t的取值范圍.
分析:(1)利用二次方程的求根公式求出z,利用復數的模的公式求出z的模.
(2)據z為虛數得到mt<m50,通過對m分類討論,利用指數函數的單調性得到t的范圍;利用等比數列的前n項和公式求出s.
(3)由(1)求出z的實部、虛部,通過對m分類討論利用指數函數的單調性及對數函數的單調性求出t的范圍.
解答:解:(1)z=
mt±
m100-m2t
i
2
,
z=
mt±
m100-m2t
i
 
∴|z|=
m2t
4
+
m100-m2t
4
=
m50
2

(2)z是虛數,則m100-m2t>0∴mt<m50,z的實部為
mt
2
;
m>1,得t<50且t∈N*∴S=2(
m
2
+
m2
2
++
m49
2
)=
m50-m
m-1
0<m<1,得t>50且t∈N*∴S=2(
m51
2
+
m52
2
+)=
m51
1-m

(3)解:c=
mt
2
>0,d=
±
m100-m2t
2

d=-
m100-22t
2
,c>d
d=
m100-m2t
2
,d=-
m100-22t
2
,c>d
恒成立,
由m100-m2t>0∴mt<m50得,當m>1時,t<50;當0<m<1時,t>50.
d=
m100-m2t
2
,如c>d,則
mt
2
m100-m2t
2
m2t
m100
2
mt
m50
2
,
m>1,
t<50
t>50-
1
2
logm2
即50-
1
2
logm2<t<50
,50-
1
2
logm2<t<50

0<m<1,
t>50
t<50-
1
2
logm2
即50<t<50-
1
2
logm2
50<t<50-
1
2
logm2
點評:本題考查二次方程的求根公式、考查復數模的公式、考查指數函數的單調性及對數函數的單調性與底數的范圍有關、考查等比數列的前n項和公式.
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