Question

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，對任意m＞0，n＞0，都有f（m﹒n）=f（m）+f（n）-2，且當x＞1時，f（x）＞2，設f（x）在[

1

10

，10]上的最大值為P，最小值為Q，則P+Q=

4

．

Answer 1

分析：令n=1證出f（1）=2，從而得到f（m）+f（

1

m

）=4，由此根據函數單調性的定義，結合當x＞1時f（x）＞2證出f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數．從而得到f（x）在[

1

10

，10]上的最大、最小值分別為f（

1

10

）和f（10），由此結合f（m）+f（

1

m

）=4即可得到P+Q的值．

解答：解：令n=1，得f（m﹒1）=f（m）+f（1）-2
∴f（m）=f（m）+f（1）-2，可得f（1）=2
令n=

1

m

，得f（1）=f（m•

1

m

）=f（m）+f（

1

m

）-2=2，
∴f（m）+f（

1

m

）=4，…（*）
可得f（

1

m

）=4-f（m）
當0＜x₁＜x₂時，

x2

x1

＞1
∴f（

x2

x1

）=f（x₂•

1

x1

）=f（x₂）+f（

1

x1

）-2＞2
∵f（

1

x1

）=4-f（x₁）
∴代入上式，可得f（x₂）+（4-f（x₁））-2＞2，得f（x₂）-f（x₁）＞0
因此f（x₁）＜f（x₂），可得f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數
∴f（x）在[

1

10

，10]上的最大值為P=f（

1

10

），最小值為Q=f（10）
由（*）得f（

1

10

）+f（10）=4，可得P+Q=4

點評：本題給出抽象函數，求f（x）在[

1

10

，10]上的最大、最小值的和．著重考查了函數單調性的證明、用賦值法求抽象函數的值等知識，屬于中檔題．